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椭球体积公式的中学证法

吴绍东
( 吴绍东科学网http://www.iijjkk.cn QQ345632757 )
( 原址:广西南宁市横县六景镇 现址:广西南宁市江南区 )

    摘要:运用液体压强公式、椭圆方程及祖暅原理证明椭球体积公式。
    关键词:
    分类号:
    论文风险度:被剽窃

    约1991年、1992年间本文的证明方法二的第(一)部分公开于广西横县峦城完全中学的校园黑板报上并自始进行了数次投稿。1999年10月1日前,本文的证明方法二的第(一)部分发布于吴绍东科学网并自始展开网上宣传。吴绍东科学网之所以会创建于1999年,是因为急于宣传本人另一篇更重要的发表于1999年广西大学学报上的论文《磁场的方向与作用》(磁向论)。
    之所以公开于校园黑板报,原因之一就是担心日后被剽窃没人能帮忙作证。至2016年5月25日经网友质疑,发现至少有两篇论文涉嫌变相剽窃本文,《运用祖暅原理求任意椭球之体积——中国数学史中一个成就的应用》、《用祖暅原理求椭球体积》这两篇论文的收稿日期皆是2002年(2002年6月5日2002年12月26日),是什么因素能令这两篇论文的四名作者的脑门的开窍时间如此的接近呢?
    高中课本给出了圆球体积公式的证明过程,但没有给出椭球体积公式的证明过程。其实我们完全可以运用中学所学的知识来简洁的证明出椭球的体积公式。


证明方法一:
    本证明方法是我于1989年刚上高中一年级不久、在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的。
    本证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 。
    本证明方法的得出,起因于我读初中时对液体压强公式 P=ρgh 的正确性的怀疑(具体可阅读《吴绍东自传》)……也就是说,由于我试图推翻液体的压强公式而意外的推导出了椭球的体积公式,最后得到的结论是——除非椭球体积公式 V=4πab2/3 是错误的,液体压强公式 P=ρgh 才有可能是错误的……
    本证明方法的证明过程较为复杂,在此暂不给出。

证明方法二:

    (一)
    读高中二年级时学校兴办黑板报,因证明方法一的证明过程较为复杂不适宜出黑板报,于是我又借助套算法的协助并利用椭圆方程及借鉴高中几何证明圆球体积公式的方法给出了本证明。
    别看本证明只用寥寥数行文字就把椭球的体积公式给证明了,其实其也是很花我时间与心血的一篇。应该往什么方向去证明?可能会推导出个什么可能来?是否会有更简洁的证明过程?这些都是靠套算法去探路及预知可能结果的。
    如图(1),将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S及S两截面。有
S=π(m2-d2)
即 m2-d2=S/π【1】
S=πb2-πr2=π(b2-r2)
因为 r/b=d/a(三角形相似)
即 r=bd/a
所以 S =π(b2-b2d2/a2)
即 b2-b2d2/a2=S/π【2】
    将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【3】
    将【1】、【2】代入【3】得
S/π=S
即 S=S
    再根据祖暅原理可知,这两个几何体是相等的。
即 V/2=V-V=πab2-πab2/3
即 V=4πab2/3

    (二)
    当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时,我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3 。
    如图(2),将底面积皆为πbc,高皆为a的椭半球体及已被挖去了椭圆锥体的椭圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S及S两截面。
    将M点的坐标值代入椭球面方程x2/b2+y2/a2+z2/c2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【A】
    将N点的坐标值代入椭球面方程x2/b2+y2/a2+z2/c2=1中有
d2/a2+(n2-d2)/c2=1
即 n2-d2=c2-c2d2/a2 【B】
    将【A】、【B】代入S的公式
S22(m2-d2)(n2-d2)中得到
S22 =b2c2+b2c2d4/a4-2b2c2d2/a2 【C】
S =πbc-πrt=π(bc-rt)
即 S22 =(bc-rt)2 =b2c2+r2t2-2bcrt
因为 r/b=d/a,t/c=d/a(三角形相似)
所以 S22 =b2c2+b2c2d4/a4-2b2c2d2/a2 【D】

    据【C】、【D】可知
S = S
    再根据祖暅原理可知,这两个几何体是相等的。
即 V/2=V-V=πabc-πabc/3
即 V=4πabc/3

说明:
    证明方法一的证明方法是作者在1989年刚上高中一年级不久时完成证明的。
    证明方法二的第(一)部分的证明方法是作者大约在1991年、1992年间完成证明的。
    证明方法二的第(二)部分的证明是作者得到了新华网论坛昵称为 瞎话瞎说 wdzg168 等网友的提示才于2005年10月25日完成证明的。特在此对他们说声谢谢!〖与 瞎话瞎说 wdzg168 等网友的对话备份〗

涉嫌剽窃本文的论文:
    经百度贴吧昵称为 zhykaoshangle 的网友提示,发现至少有两篇论文四名作者涉嫌剽窃了本文《椭球体积公式的中学证法》(具体请阅读〖涉嫌剽窃的论文及作者〗 )。特在此对 zhykaoshangle 说声谢谢!
    涉嫌剽窃本文《椭球体积公式的中学证法》的两篇论文及四名作者是:辽宁省大连市瓦房店市高级中学的宋丹及庄建宏的《运用祖暅原理求任意椭球之体积——中国数学史中一个成就的应用》(发表于《辽宁省交通高等专科学校学报》2002年04期,收稿日期为2002年6月5日)、山东省滕州市第一中学新校数学组的陈兵及邢启强的《用祖暅原理求椭球体积》(发表于《数学通讯》2003年09期,收稿日期为2002年12月26日)。这两篇论文的收稿日期皆是2002年,是什么因素能令这两篇论文的四个作者的脑门的开窍时间如此的接近呢?
    发现一些网上转载我的文章的网友,还特意将我的文章的作者姓名、联系方式等删除掉,把我的文章变成了无主文章……这对于原作者及涉嫌学术不端的作者来说或许都是一种伤害……请别再这样干了……谢谢!

参考文献
    [1] 吴绍东.套算法.



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